זו שאלה נהדרת! מה שאתה שואל הוא אחד הקישורים החסרים בין כוח המשיכה הקלאסי לכמויות.

בפני עצמם, משוואות איינשטיין, $ G _ {\ mu \ nu} = 8 \ pi G T _ {\ mu \ nu} $, הן משוואות שדה מקומיות ואינן מכילות שום מידע טופולוגי. ברמת עקרון הפעולה,

$$ S _ {\ mathrm {eh}} = \ int_ \ mathcal {M} d ^ 4 x \, \ sqrt {-g} \, \ mathbf { R} $$

המונח שאנו כוללים בדרך כלל הוא Ricci scalar $ \ mathbf {R} = \ mathrm {Tr} [R _ {\ mu \ nu}] $, שתלוי רק בראשון וב נגזרות שניות של המדד והוא, שוב, כמות מקומית. כך שגם הפעולה לא מספרת לנו על טופולוגיה, אלא אם כן אתה נמצא בשני מימדים, כאשר המאפיין אוילר ניתן על ידי האינטגרל של סולם הריצ'י:

$$ \ int d ^ 2 x \, \ mathcal {R} = \ chi $$

(מודולו כמה גורמים מספריים). אז כוח המשיכה ב -2 מימדים הוא לגמרי טופולוגי. זאת בניגוד למקרה הדו-ממדי שבו נראה שפעולת איינשטיין-הילברט אינה מכילה מידע טופולוגי.

זה אמור לכסות את שאלתך הראשונה.

עם זאת, הכל לא אבוד. אפשר להוסיף דרגות חופש טופולוגיות לכוח המשיכה 4D על ידי הוספת מונחים המתאימים למשתנים טופולוגיים שונים (צ'רן-סימונס, ניה-יאן ופונטריאגין). למשל, התרומה של צ'רן-סימונס לפעולה נראית כך:

$$ S_ {cs} = \ int d ^ 4 x \ frac {1} {2} \ left (\ epsilon_ {ab} {} ^ {ij} R_ {cdij} \ right) R_ {abcd} $$

הנה מאמר נחמד מאוד מאת Jackiw ו- Pi לפרטי הבנייה הזו.

יש עוד הרבה מה לומר על טופולוגיה ויחסיות כללית. שאלתך רק מגרדת את פני השטח. אבל יש מכרה זהב מתחת! אני אתן למישהו אחר להתמודד עם השאלה השנייה שלך. תשובה קצרה היא "כן".

רק נקודה אחת נוספת שלא ראיתי שהוזכרה לעיל: אם למרחב הזמן יש קבוצה בסיסית לא טריוויאלית, הוא לא נראה על ידי מתבונן באינסוף . זהו תוכן ה משפט הצנזורה הטופולוגי . המשמעות היא שעבור זמן-זמן שטוח בצורה לא סימפטומית, כל טופולוגיה מעניינת תסתתר מאחורי אופק האירועים. ההוכחה למשפט היא מפתיעה למדי: היא פחות או יותר הרחבה ישירה של משפט הייחודיות של פנרוז.

ראה :

פרידמן, ג'יי ל .; Schleich, K. & Witt, D. M. צנזורה טופולוגית Phys. הכומר לט., האגודה הפיזיקלית האמריקאית, 1993, 71, 1486-1489

Schleich, K. & Witt, DM Singularities from the Topology and Structured Different of Asymptotically Flat Flat Spacetime http: // arxiv .org / abs / 1006.2890

Galloway, GJ. על הטופולוגיה של תחום התקשורת החיצונית. מעמד. גרב קוונטי. 12 No 10 (אוקטובר 1995) L99 (3pp)

אני לא יודע את התשובה, אבל האינטואיציה שלך נכונה - העובדה ש משוואות הן מקומיות לא אומר שלא יכולה להיות מגבלה על הטופולוגיה של פתרון גלובלי . לדוגמא, בחתימה האוקלידית, $ R_ {ij} = g_ {ij} $ מרמז מייד כי העקמומיות הסקלרית היא חיובית, מה שמוביל בתור לאילוצים טופולוגיים. אם הארבעה-סעפת היא ו מורכבת של אינשטיין, אז זה חייב להיות משטח דל פזו (מוגבל מאוד). אני לא יודע הרבה על החתימה של לורנץ, אבל אני יודע שה- PDE הם חיה אחרת לגמרי. ראיתי כמה תוצאות על סיווג קבוצות הולונומיות אפשריות של סעפות לורנצ'י איינשטיין, אבל אני לא יודע שום דבר גלובלי (אני למעשה לא יודע כלום).

1. משוואות איינשטיין מתארות את המבנה המקומי של המרחב-זמן. הם אינם מכילים מידע גלובלי או טופולוגי.

   אמנם שמעתי כי מגבלות מסוימות בסולם ה טופולוגיה יכולות להיגזר מעקמת היקום אם העקמומיות היא שלילית. (משהו כמו "קנה מידה = מכפיל שלם של 1 / עקמומיות".)

2. ובכן, אם במרחב שלנו יש טופולוגיה לא טריוויאלית, קרני האור "יעטפו" את היקום שלנו פעמים רבות ותוכלו לראות את אותם עותקים (דומים) של גלקסיות. שמעתי על אנשים שמחפשים דמיון כזה ללא הצלחה.

   כמו כן טופולוגיה לא-פרטית חייבת לגרום לקורלציה כלשהי ב- CMB - גם לא נמצאו (עדיין?) קורלציות כאלה.

אלו שתי שאלות עצמאיות, אחת מתמטית ואחת על תצפיות.

1. אילו אילוצים משוואות איינשטיין לגבי המבנה הגלובלי של החלל ו / או זמן החלל? אני לא יודע את התשובה הכללית, ההתרשמות שלי היא שלא ידוע על סעיפי לורנציה כמו על סעפות אוקלידיות. יתר על כן, אין שום סיבה לחשוד שהחלל / זמן החלל הוא ללא ייחוד (לכל הפחות אנו מכירים חורים שחורים רבים ביקום), ואני בספק אם ניתן לומר הרבה על המבנה הגלובלי של כל סעפת אם תאפשר ייחודיות.

2. אודות פיזיקה תצפיתית: היחיד הנצפה שאני יכול לחשוב עליו שהוא רגיש למבנה הגלובלי הוא הכפולות הקטנות של ה- CMB, ומדי פעם יש מאמרים הנושא, כדי להסביר חריגות ברב-מוטות כאלה (למשל סיפורים על יקום בצורת כדורגל). למרבה הצער, השונות הקוסמית מגבילה כמה ברצינות אתה יכול לקחת תצפיות ומודלים כאלה שמטרתם להסביר אותם.

בשאלת הניסויים והטופולוגיה, יש עבודה כלשהי על ידי גלן שטרקמן ואח '. בעבודתם הם מחפשים מבנים ב- CMB שיעידו על טופולוגיה מסוימת ליקום. יש הרצאה נחמדה מאוד ב- PI בנושא כמו גם נושאים אחרים שקשורים ל- CMB. כדי לתת לך ספוילר בהרצאה, הם לא מצאו שום דבר בקורלציות זווית גדולה.