האם אקדח מפעיל מספיק כוח משיכה על הכדור שהוא ירה כדי לעצור אותו?

לא.

האם, בהינתן זמן מספיק גדול, הכדור ייפול לאקדח?

לא.

או שיש גבול למרחק שכוח המשיכה יכול להגיע אליו?

לא.

אך מהירות הכדור עולה על מהירות בריחה. ראה ויקיפדיה בה אתה יכול לקרוא ש מהירות בריחה במרחק נתון מחושבת על ידי הנוסחה

$$ v_e = \ sqrt {\ frac {2GM} {r}} $$

תאר לעצמך שאתה משחק את התרחיש הזה הפוך. יש לך כדור ואקדח, בהפרש של זיליון שנות אור, ללא תנועה ביחס לאחר. אתה מתבונן ומחכה, ואחרי כמה מיליוני שנים אתה שם לב שהם נעים זה לזה בגלל כוח הכבידה. (כדי לפשט את העניינים נגיד שהאקדח חסר תנועה והכדור נופל לעבר האקדח). אחרי עוד שני שנים, עקבת אחר הכדור עד האקדח, ואתה שם לב שהם מתנגשים ב 0.001 מ 'לשנייה. אתה בודק את הסכומים שלך ומסתביר שזה בערך נכון, בהתחשב בכך שאקדח היה מסיבי כמו 5.972 × 10 $ ^ {24} $ ק"ג של כדור הארץ, הכדור היה מתנגש בו במהירות של 11.7 קמ"ש. מהירות בריחה היא המהירות הסופית של גוף נופל שמתחיל במרחק "אינסופי". אם אתה משגר קליע מכדור הארץ עם יותר ממהירות בריחה, הוא לעולם לא יחזור.

בסדר, עכשיו נחזור לתרחיש המקורי. אתה יורה באקדח, והכדור יוצא ב -1000 מ 'לשנייה. כאשר הכדור נמצא במרחק של זיליון שנות אור, מהירותו פחתה ל -999.999 מ 'לשנייה. מכיוון שמהירות הבריחה של האקדח היא 0.001 מ 'לשנייה. כוח המשיכה של האקדח אף פעם לא יספיק בכדי לעצור את הכדור הזה, גם אם היה לו כל הזמן בעולם וכל התה בסין.

כפי שהוזכר על ידי סטיבן מתיי בתגובות, לכל גוף עם מסה $ M $ ורדיוס $ r $, יש מהירות שצריך להשיג כדי להימלט לחלוטין מכוח המשיכה של הגוף. זהו מהירות הבריחה $$ v_e = \ sqrt {\ frac {2GM} {r}} $$ כאשר $ G $ הוא קבוע הכובד של ניוטון, $ M $ הוא מסת הגוף שממנו אתה בורח ו- $ r $ הוא המרחק ממרכז המסה שבו צריך להגיע למהירות הבריחה.

בדרך כלל משתמשים במושג זה על כוכבי לכת (או ירחים) כאשר $ $ $ הוא רדיוס כדור הארץ (הירח) ו מהירות הבריחה היא המהירות שרקטה תזדקק לה (במונחים של דלתא-v) כדי לברוח מכוכב הלכת (הירח). כאן אתה יכול לקחת את המרחק ממרכז המסה של האקדח לפתח הקנה. בעודו בקנה, הכדור עשוי עדיין להאיץ עקב התרחבות גזים. נניח שהמרחק הוא $ 10 ~ \ mathrm {cm} $. בואו נניח גם שהאקדח שוקל קילוגרם אחד. ואז מהירות הבריחה קטנה כמו $ 37 ~ \ mu \ mathrm {m} / \ mathrm s $.

אז כן, הכדור הזה בטוח לא יחזור.

לתשובה קצת קיצונית: עד כמה האקדח צריך להיות מאסיבי שמהירות בריחה גדולה יותר ממהירות הכדור? אני מניח שאנחנו משתמשים במגנום 357 שנורה מנשר מדבר, שנמצא למעשה בקצה הנמוך עד האמצעי של סולם מהירות הלוע:

מקור: http://wredlich.com/ny/2013/01/projectiles-muzzle-energy-stopping-power/

לנשר המדבר יש חבית של 15 ס"מ. באמצעות הנוסחה המסופקת בתשובות אחרות:

$$ v_ \ mathrm e = \ sqrt {\ frac {2GM} {r}} $$

מלא את המספרים:

$$ v_ \ mathrm e = \ sqrt {\ frac {2 \ times G \ times M} {0.15 \ \ mathrm m}} $$ $$ (410 \ \ mathrm {m / s}) ^ 2 = \ frac {2 \ פעמים G \ פעמים M } {0.15 \ \ mathrm m} $$ $$ 1.68 \ times10 ^ 5 \ \ mathrm {m ^ 2 \ s ^ {- 2}} = 13 \ \ mathrm {m ^ {- 1}} \ times G \ times M $$ $$ M = 1.9 \ times10 ^ {14} \ \ mathrm {kg} $$

הערה: אני לא בטוח עד כמה המספר הזה מדויק. הזנתי את המשתנים האלה ב -2 מחשבונים מקוונים. אחד מהם העלה את התשובה הזו ( http://calculator.tutorvista.com/escape-velocity-calculator.html), השני העלה מספר שהוא אותו מספר, אבל סדרי גודל רבים קטנים יותר: 1889.4434 $ \ \ mathrm {kg} $ ( https://www.easycalculation.com/physics/classical-physics/escape- velocity.php). אני לא בטוח מדוע שני המספרים האלה שונים כל כך.

כוח המשיכה של האקדח תמיד יפעיל כוח על הכדור. הכדור ימשיך להאט עוד ועוד לנצח. קצב האטתו הוא ביחס הפוך לריבוע המרחק מהאקדח. ככל שזה רחוק יותר, האטה האטה יותר.

זה הגיוני לחשוב שמשהו שממשיך להאט לנצח יפסיק בסופו של דבר. אבל זה לא תמיד נכון.

כאשר הכדור מאט הוא מאבד אנרגיה קינטית. ניתן לחשב זאת כאינטגרל הכוח הפועל עליו בזמן שהוא נע ממרחק $ r_1 $ ל- $ r_2 $.

$$ \ Delta K = - \ int_ {r_1} ^ {r_2} \ frac {GMm} {r ^ 2} \, dr $$

אובדן אנרגיה זה לעולם אינו אפס, אך הסכום הכולל שלו מוגבל. (לפי היגיון הדומה לאופן שבו סדרה גיאומטרית יכולה להיות מתכנסת.) אם האנרגיה הקינטית הראשונית הייתה גדולה מהגבול באובדן האנרגיה, יישארו כמה ולא משנה כמה זמן עבר. במילים אחרות הכדור יאט ברציפות, אך לעולם לא יירד מתחת למהירות מסוימת.

מהירות הבריחה המוזכרת בתשובות האחרות היא המהירות הראשונית שבה יש לכדור בדיוק כמו אנרגיה קינטית רבה כגבול האנרגיה שאבד. אם זו בדיוק המהירות ההתחלתית, אז הכדור יאט ומהירותו תטה לאפס. אם המהירות ההתחלתית גבוהה יותר, מהירות הכדור נוטה לערך חיובי. אם המהירות ההתחלתית נמוכה יותר, הכדור יאבד את כל מהירותו לאחר זמן סופי ותתחיל ליפול לאחור.

בהנחה שמסת האקדח ($ M $) גדולה בהרבה מזו של הכדור ($ m $), הכוח הנקי על הכדור הוא: (ממסגרת האקדח.)

$$ m \ frac {d ^ 2r} {dt ^ 2} = mv \ frac {dv} {dr} = - \ frac {GMm} {r ^ 2} $$

שוויון מתקבל מהעובדה שהתאוצה היא $ \ frac {dv} {dt} $, השווה ל- $ \ frac {dv} {dr} \ frac {dr} {dt} $, (באמצעות כלל השרשרת) המונח השני להיות המהירות.

לאחר שילוב זה, אנו מקבלים:

$$ \ frac {mv ^ 2} {2} - \ frac {GMm} {r} = c $$

אם אנו מניחים שהכדור נעצר במרחק אינסופי (כלומר, הוא בורח מהאקדח, לעולם לא יחזור), האנרגיה שלו באותה תקופה תהיה אפס.

מכאן, אנו מקבלים:

$$ v_i = \ sqrt \ frac {2GM} {r} $$ (כאשר $ r $ הוא המרחק ממרכז המסה של האקדח עד לנקודה בה השאיר את האקדח.)

זהו מהירות הבריחה של הכדור. (כמו שציינו @Jonas ו- @Steven Mathey ו- @John Duffield.)

עבור כל המהירויות הראשוניות הגדולות מזה, כוח הכבידה מהאקדח לא היה מסוגל למשוך את הכדור לאחור. אם ניקח בחשבון כמה שווה ערך של $ v_i $ בהשוואה למהירויות קליע ממוצעות, הכדור ברובו יימלט.

(ההנחה הראשונית מסייעת להקל על המתמטיקה, אך זו לא הנחה אבסורדית. הנחה זו הוא המקבילה המתמטית לאמירה שהאקדח כלל לא יזוז בגלל הכוח שמפעיל הכדור עליו.)