זו שאלה טובה --- מנקודת מבט לוגית, סקלר הוא לא אובייקט מאותו "סוג" כמו המטריצה ​​האחת אחר אחת שאתה יכול להכין ממנה. (הרגע ביליתי שעות בניסיון לקמפל קוד של מישהו אחר שלא יתאסף בגלל שגיאות מסוג דומה.)

מנקודת מבט פיזית, אין הבדל אם ניתן להשתמש בשניהם עבור אותן מטרות. מה שהם יכולים, בהקשר זה.

עד כמה שידוע לי, הם תמיד יכולים להיות מוחלפים זה בזה בכל הקשר שאני יכול לחשוב עליו בפיזיקה.

"המטרה" של מטריצה ​​היא לתאר טרנספורמציה לינארית במרחב. סקלר תמיד פועל על חלל, או שהוא לא ייקרא "סקלר", אלא רק "מספר". בדרך כלל מקדמי המטריצה ​​משתנים אם משנים את בסיס הקואורדינטות במרחב. אך מקדם המטריצה ​​של סקלר לעולם אינו משתנה ולא משנה כמה תשנה את הקואורדינטות. אז הם בלתי תלויים בקואורדינטות, ממש כמו מספרים.

כדי להגדיל מעט את הנקודה הפדנטית הזו, סקלר אינו זהה למספר. אנו מכנים מספר "סקלר" רק אם אנו חושבים עליו בקשר למרחב וקטורי שהוא פועל עליו, כטרנספורמציה לינארית. לכן, אם אתה מקבל את הבחנת השימוש הנפוצה הזו בין "סקלרי" ל"מספר ", המטריצה ​​האחת על אחת היא בדיוק אותו סוג של דבר כמו סקלר, אך אינה אותו סוג של דבר כמו מספר. העצלות האמיתית, שאינה מזיקה, היא לחשוב סקלר = מספר. אם אתה מקבל את ההבחנה הזו, אז אין כל רשלנות, אפילו הגיונית, באמירה שהתוצר של שני הווקטורים האלה הוא "סקלר". ולכן הוא נקרא "המוצר הסקלרי". אבל זה לא בדיוק מספר (אם אתה מקבל הבחנה זו).

ניתן לייצג את ה על ידי מטריצות , כן. זה לא אומר שהם הם מטריצות. מטריצות אינן אובייקטים מתמטיים משמעותיים באמת, הן פשוט מספקות דרך שימושית לציון אופרטורים ליניאריים על נייר או בתוכנות מחשב.

במקרה של Bra-Ket, המצב הוא למעשה זה: יש לך Hilbert Space $ \ mathcal {H} $, המכיל וקטורים / מצבים מסוימים. אלה נלקחים בדרך כלל כ Kets. למרות שההבחנה נמרחת בדרך כלל, וקטור הוא לא מערך או מטריצה ​​של עמודות מספרים, אלא ישות מתמטית מופשטת. IMO עדיף לחשוב על זה כ נקודה במשטח עליון (מרחב הילברט). רק אם אתה מרחיב וקטור למקדמים ביחס ל בסיס ספציפי כלשהו, ​​אז תקבל מערך מספרים.

החזיות שייכות ל רווח כפול $ \ mathcal {H} ^ \ ast $, שהוא המרחב של כל הפונקציות הלינאריות $ \ mathcal {H} \ to \ mathbb {C} $. לפיכך, תוצר של חזייה וקט הוא למעשה רק ה תוצאה של החלת פונקציית חזייה על טיעון קט , ומכיוון שקודן החזיות הוא מערך המספרים המורכבים (כלומר של סקלרים), המוצר אינו נותן שום סוג של מטריצה ​​אלא רק, ובכן, סקלר יחיד.

עכשיו, בגלל משפט מתמטי נחמד (ולמעשה לא כל כך טריוויאלי) , מרחב הפונקציונליות הליניארית הוא למעשה איזומורפי למרחב הילברט עצמו. זו הסיבה שהסימן הסימטרי של חזיות וקטס הגיוני: איננו צריכים לדאוג אילו הם וקטורים ואילו הם וקטורים משותפים, וניתן לחשוב על כמטריצות בעלות צורה שונה. אבל אני לא חושב שזה ממש חכם לראות את זה ככה, אם כי כמובן טוב לדעת שאתה יכול.

זה אולי נראה נאיבי, אבל בתור מהנדס שרגיל לדמיין דברים, אני תמיד מבין את הכפל של הווקטורים והמטריצות כמו בתרשים זה:

כדי להכפיל שתי מטריצות AB, A צריך להכיל כמה עמודות כמו של B יש שורות, ולתוצאה יש כמה שורות כמו A, וכמה עמודות כמו B. אתה מקבל כל אלמנט של התוצאה על ידיהכפלת תאים תואמים והוספתם.

אם A ו- B הם וקטורים, אחד צריך להיות שורה והשני עמוד.

אם אתה רוצה להכפיל אותם כדי לקבלמספר בודד, כלומר המוצר DOT או INNER, שם מכפילים את השורה בעמודה, והם צריכים להיות באותו אורך.

לחלופין, אתה יכול להכפיל אותם כדי לקבל מטריצה,שהוא המוצר TENSOR או OUTER. שם מכפילים את העמודה בשורה, והם לא צריכים להיות באותו אורך.

בואו נדבר על המרחב הווקטורי $ \ mathbb {R} ^ n $, ללא הפורמליזם של החזייה. תן $ \ mathbf {e} _i $ לסמן את הווקטור עם $ j $ th רכיב $ \ delta_ {ij} $, שהוא $ 1 $ עבור $ i = j $ או $ 0 $ עבור $ i \ neq j $. אלה מהווים בסיס, כלומר. $ \ mathbf {v} = \ sum_ {i = 1} ^ n v_i \ mathbf {e} _i $. המפות הליניאריות ממרחב וקטורי זה ל- $ \ mathbb {R} $ יוצרות מרחב וקטורי הנקרא רווח כפול של $ \ mathbb {R} ^ n $. אנו יכולים לבנות בסיס למרחב זה גם; אלמנט הבסיס $ i $ שלנו, נניח $ \ mathbb {e} _i ^ \ dolk $, ישלח $ \ mathbb {e} _j $ ל- $ \ delta_ {ij} $. עכשיו יש לי אופרטור בינארי שלוקח אלמנט מכל מרחב וקטורי, ואז הופך את האלמנט של $ \ mathbb {R} ^ n $ לארגומנט של הפונקציה שנלקח מהמרחב הכפול. אנו כותבים $ \ mathbb {e} _i ^ \ dolk \ mathbb {e} _j = \ delta_ {ij} $. אבל עכשיו אני יכול לשייך כל $ \ mathbb {e} _i $ ל- $ \ mathbb {e} _i ^ \ dolk $ ולחשוב על זה כעל פונקציה דו-לינארית ב- $ \ mathbb {R} ^ n $. זהו, כמובן, המוצר הנקודתי המוכר, כלומר. $ \ left (\ sum_i u_i \ mathbb {e_i ^ \ dolk} \ right) \ left (\ sum_j v_j \ mathbb {e_j} \ right) = \ sum_ {ij} u_i \ delta_ {ij} v_j = \ sum_i u_i v_i . $ ואתה יכול לעשות את אותו הדבר עבור $ \ mathbb {C} ^ n $, רק שעכשיו המוצר הפנימי שלנו מצמיד את $ u_i $.

עד כדי כך המוצרים הפנימיים עובדים. בשלב הבא אנו זקוקים ל מוצרים חיצוניים שהם בצורת $ \ sum_ {ij} a_ {ij} \ mathbf {e} _i \ mathbf {e} _j ^ \ dolk $. אלה מפות ליניאריות שיכולות לקחת וקטור משני החללים, כל עוד אתה שם אותו בצד הנכון כדי ליצור מוצר פנימי. מוצרים חיצוניים אלה הם רק מטריצות. לדוגמא, אם $ I: = \ sum_i \ mathbf {e} _i \ mathbf {e} _i ^ \ dolk $ אז $ I \ mathbf {v} = \ mathbf {v}, \, \ mathbf {v} ^ \ פגיון I = \ mathbf {v} $. אז $ I $ היא מטריצת הזהות! (שים לב שאנו משיגים זאת עם הבחירה $ a_ {ij} = \ delta_ {ij} $.) ניתן להשיג את המוצר הפנימי של שני וקטורים על ידי הצבת וקטור בכל צד של המוצר החיצוני, כלומר. $ \ mathbf {u} ^ \ dolk \ mathbf {v} = \ mathbf {u} ^ \ dolk I \ mathbf {v} $. (כתרגיל, ייתכן שתרצה למצוא אילו מטריצות יכולות להחליף $ I $ כדי עדיין לתת פונקציה העונה על האקסיומות הפנימיות של המוצר.)

מכניקת הקוונטים נראית קצת יותר מסובכת, אך עקרונות אלה יחולו. לכל חלל וקטורי. בטח, ייתכן שתשתמש בסימון חזיית קט, או תצטרך להשתלב מעל תווית במקום לסכם עליה. (זה מוביל ל סיבוכים מצחיקים.) אבל ההסבר להערת ספר הלימוד שלך הוא הבחנה הפנימית / החיצונית של המוצר.

זהו רק תוצר הנקודה של שני וקטורים.אם אתה רוצה להכנס יותר למוצרי נקודה הייתי מציע לעבור לאתר המתמטיקה.

חזייה היא וקטור ומראה את המצב של המערכת המועדפת עליך. אנו יודעים שניתן להציג את הווקטור כמטריצה $ N * 1 $, אז בוא הוא מטריצה שינוי עמוד וקטור וקטור תן לנו להעביר את החזייה שלה

החזייה והקט מיוצגים על ידי וקטורים. זה לא הופך אותם לווקטורים. כפי שאמרת קודם, המוצר שלהם מוגדר כסקלרי. אל תבלבל את הייצוגים עם הדברים.

זה קורה גם לסטודנטים הלומדים אלגברה לינארית. בהתחלה הם מצרפים את המפעילים הליניאריים עם המטריצות מלאות המספרים. המפעילים הליניאריים אינם משתנים על ידי שינוי קואורדינטות (שינוי בסיס), אך המטריצות משתנות באופן מהותי. במקרה זה, התלמידים מאמינים (באופן שגוי) ששינוי בסיס משנה את האופרטורים הליניאריים - זה לא.

כמו כן, החזיות והערכות הן אובייקטים במרחב מופשט כלשהו. ניתן לייצג אותם כווקטורים, שהם גם מטריצות (אם אינדקס אחד נע רק מעל $ \ {1 \} $ שנקבע). הם לא וקטורים ולא מטריצות. אם אנו משנים בסיסים במרחב זה, הווקטורים והמטריצות משתנים, אך החזיות והקטות עומדים ללא שינוי. אל תשלב את האובייקט עם הייצוג.

אתה מבחין שהתוצר הפנימי של וקטור המייצג חזייה וקטור המייצג קט (אחד מהם, למעשה, צריך להיות וקטור משותף, אך זו לא שאלתך) הוא וקטור כניסה יחיד או מטריצת כניסה יחידה (כל המדדים נעים כעת מעל הסט $ \ {1 \} $). מהאמור לעיל, זה לא צריך להיות מפתיע שהמטריצה ​​הקטנה הזו מייצגת את הסקלר שהוא המוצר של החזייה והקט (האמיתי). שוב, מדובר ב"שתי שכבות "של דברים - החזיות, הערכות והסקלר בפועל, והייצוגים שלהם כמטריצות וקטורים. אל תרכב את שתי השכבות.