כן, מטריצת הצפיפות מיישבת את כל ההיבטים הקוונטיים של ההסתברויות עם ההיבט הקלאסי של ההסתברויות, כך שלא ניתן יהיה להפריד בין שני "החלקים" הללו בצורה בלתי משתנה.

כפי שקובע ה- OP בדיון ניתן להכין את אותה מטריצת צפיפות בדרכים רבות. אחד מהם עשוי להראות יותר "קלאסי" - למשל. השיטה בעקבות האלכסון הפשוט ממשוואה 1 - ואחת אחרת עשויה להיראות קוונטית יותר, תלוי במצבים שאינם אורתוגונליים ו / או שמפריעים זה לזה - כמו משוואות 2.

אך כל התחזיות עשויות להיות כתוב במונחי מטריצת הצפיפות. לדוגמא, ההסתברות שנצפה במאפיין שניתן על ידי מפעיל ההקרנה $ P_B $ היא $$ {\ rm Prob} _B = {\ rm Tr} (\ rho P_B) $$ אז כל הליך שייוצר $ P_B $ תמיד מניבים את אותן ההסתברויות לכל דבר.

בניגוד למשתמשים אחרים, אני כן חושב שהתצפית הזו של ה- OP כוללת תוכן לא סודי, לפחות ברמה הפילוסופית. במובן מסוים, זה מרמז כי יש לפרש את מטריצת הצפיפות עם הפרשנות ההסתברותית שלה בדיוק באותה צורה כמו פונקציית חלוקת החלל בשלב בפיזיקה סטטיסטית - ו"החלק הקוונטי "של ההסתברויות עולה בהכרח מתוך הכללה זו מכיוון שהמטריצות אל תעבור אחד עם השני.

דרך נוספת לבטא את אותה פרשנות: בפיזיקה הקלאסית, כולם מסכימים שייתכן שיש לנו ידע לא שלם על מערכת פיזיקלית ונשתמש בחלוקת הסתברות מרחב פאזה בכדי לכמת זאת. כעת, אם נסכים גם כי ניתן לחשב הסתברויות של מצבים שונים, שאינם כוללים הדדיות (מצבים עצמיים של מטריצת הצפיפות) כערכים עצמיים של מטריצת הצפיפות, ואם אנו מניחים שיש נוסחה חלקה להסתברויות של מאפיינים מסוימים, אז זה גם מכאן נובע שאפילו מצבים טהורים - שבמדיניות הצפיפות שלהם יש ערכים עצמיים $ 1,0,0,0, \ נקודות $ - חייבים לרמוז חיזויים הסתברותיים לרוב הכמויות. פרט למתווך שאיננו אפס מתצפית או מטריצה, ההסתברויות הקוונטיות הקשורות להפרעות אינן שונות ואינן "מוזרות" יותר מההסתברויות הקלאסיות הקשורות לידע הלא שלם.

אתן תשובה אך מנקודת מבט אחרת, ואני מקווה לשכנע אותך שיש מידע במטריצת צפיפות שאין לה שום עמית קלאסי. יתר על כן זה יכול להיחשב כמרכיב קוונטי, וניתן להראות כי מידע זה נשמר כקטורים עצמיים של $ \ rho $.

אתן דוגמא לאופן בו זה בא לידי ביטוי. מידע פישר $ I (\ theta) $ הוא סטטיסטיקה מתורת ההסתברות הקלאסית המאפיינת את המהירות בה ניתן ללמוד על פרמטר $ \ theta $ המאפיין חלוקת הסתברות $ p (\ theta) $.

באופן ספציפי השונות של אומדן קלאסי לא משוחד $ \ hat {\ theta} $ מכבד את Cramer Rao bound $$ \ mathrm {var} (\ hat {\ theta}) \ geq \ frac {1} {I (\ theta) } $$

התוספת של המידע פירושה שאם אתה מדגים את ההתפלגות $ n $ פעמים, אוסף מדידות בכל פעם את השגיאה הצפויה $ \ Delta \ theta_c = \ sqrt {\ mathrm {var} (\ hat {\ theta})} $ של כל אומדן הולך כמו $$ \ Delta \ theta_c \ propto \ frac1 {\ sqrt {n}} $$

זה מוכר בקנה מידה של סטיית התקן $ \ sigma $ בדברים כמו משפט גבולות מרכזי.

אנו יכולים להגדיר אנלוגי קוונטי, למידע הדייג $ J (\ theta) $ העונה על קשר אנלוגי, המכונה קוואנט קרמר ראו מאוגד.

עם זאת נמצא כי על ידי מתן הסתבכות בין אירועי דגימה עצמאיים קלאסית, הגבול טוב בהרבה. ולאחר שאספנו מערך נתונים של מדידות $ n $, אומד הקוונטים הטוב ביותר אפשרי רק על ידי השגיאה $$ \ Delta \ theta_q \ propto \ frac1 {n} $$.

זה מראה כי מצב קוונטי כללי $ \ rho $ יכול בהחלט לתמוך בסטטיסטיקה אשר התפלגות הסתברות קלאסית אינה יכולה.

מידע פישר הקוונטי של מטריצת צפיפות התלויה בפרמטר $ \ theta $$$ \ rho (\ theta) = \ sum_i p_i (\ theta) | \ psi_i (\ theta) \ rangle \ langle \ psi_i (\ theta) | $$ ניתן לראות כמופרד למספר תרומות, אחת מהן היא מידע פישר קלאסי של הספקטרום $ p_i (\ theta) $, ואחרת הוא מונח כמו Fubini-Study, שמסביר את המידע המאוחסן בבסיס $ | \ psi_i (\ theta) \ rangle $. האפשרות של קנה מידה קוונטי (סופר קלאסי) תלויה לחלוטין בקיומו של מונח קוונטי זה.

לחלופין, מבחינת התנהגות נתוני המידע של פישר והאנלוגים הקוונטיים שלו, מטריצת צפיפות $ \ rho $ תומכת בהתנהגות לא קלאסית רק אם הבסיס נקבע $ | \ psi_i (\ theta) \ rangle $ מכיל מידע רלוונטי למדידה, ובמובן זה, מידע המאוחסן בדרך זו עשוי להיחשב כלא קלאסי.

דברים שימושיים

אם אתה מעוניין ב חלק מהנושאים הנדונים כאן רואים סקירה טובה זו להסבר. http://arxiv.org/pdf/1102.2318v1.pdf

זה להסבר נגיש אך מתמטי של ה- QFI. http://arxiv.org/pdf/0804.2981.pdf

בואו נסתכל על דוגמה מפורסמת וקונקרטית: אור לא מקוטב לחלוטין.

אליס יוצרת אור לא מקוטב על ידי ערבוב אקראי (לא קוהרנטי) של אור שמאל-מקוטב עם עוצמה שווה של אור ימני-מעגלי .

בוב יוצר אור לא מקוטב על ידי ערבוב אקראי (לא קוהרנטי) של אור מקוטב אנכית בעוצמה שווה של אור מקוטב אופקי.

אין מדידה שתגיד לך איזה אור הוא של אליס וזה של בוב.

האם האור של אליס ביסודו זהה כמו האור של בוב, או שהם סוגים שונים של אור שאי אפשר להבדיל ביניהם ?

ובכן, לא צריך לעשות יותר מדי שאלות מסוג זה. אבל אם הייתי צריך לבחור, הייתי אומר שהם סוגים שונים של אור, מכיוון שתהליך הערבוב הלא-קוהרנטי הקלאסי משאיר שובל של מידע שם בחוץ שמספיק כדי להבדיל בין שתי הקורות (למרות אולי אין לי את המידע הזה כרגע בפועל).

לדוגמא, אולי אליס ובוב משלבים כל אחד מהם שתי קרני לייזר שונות בתדרים מעט שונים (ומשתנים באופן אקראי). (זו דרך לגיטימית להוסיף בפועל שתי קורות אור באופן לא קוהרנטי.) אם אין לי אין ספקטרומטר מהודר מאוד, אני יכול לתאר את כל המדידות האפשריות שלי באומרו שמדובר בקורות לא מקוטבות. אבל אם יש לי יש ספקטרומטר מהיר ורזולוציה גבוהה, אוכל להבין איזו קרן היא של אליס ואיזה של בוב.

זו דוגמה לאמת רחבה יותר: הסתברויות קלאסיות תלויות יותר במצב מאשר הסתברויות קוונטיות. באופן ספציפי: אם שני אנשים כל אחד יחשבו שחלקיק נמצא במצב טהור, הם תמיד יסכימו על במה שהוא קיים, ולכן הם יסכימו על התפלגות ההסתברות לכל מדידה אפשרית של אותו חלקיק. אך אם שני אנשים חושבים שחלקיק נמצא במצב מעורב, הם לעיתים קרובות לא יסכימו באיזה מצב מעורב הוא נמצא, מכיוון שהם עשויים להיות בעלי ידע עזר שונה, מה שמוביל אותם להקצות הסתברויות קלאסיות שונות. (למשל, אולי החלקיק הוא של זוג EPR, והתאום שלו נמדד, אך רק אחד מהמשקיפים יודע את תוצאת המדידה.)

אבל, נתון מצב של "הידע שלי כרגע", אין שום דרך למתוח קו בין הסתברויות קלאסיות לבין הסתברויות קוונטיות --- ואין סיבה לכך!

אני יודע שאמרת שאינך מעוניין במקרה שהמצב המעורב הושג באמצעות עקבות חלקיות של מערכת מורכבת, אך בהחלט יש דברים מעניינים לומר גם בהקשר זה שקשורים לכך דיון.

שקול את ניסוי המחשבה הזה: אני נותן לך שני קווביטים, A ו- B. מדדתי את הקובית A לאורך הציר $ z $, אבל לא סיפרתי לך את תוצאת המדידה שלי. קוביט B מסובך כצמד פעמונים עם קוביט שלישי שאין לך גישה אליו. האם שני הקוביטים הם "שווים"?

התשובה תלויה בפרשנות שלך למכניקת הקוונטים. מישהו שמנוי לפרשנות ריאליסטית, לפרשנות אפיסטמית ולפרשנות של עולמות רבים היה עונה אחרת. (הפרשנות של עולמות רבים מסווגת בדרך כלל כריאליסטית, אך לצורך שאלה זו ברור יותר להפריד אותה. כולם יסכימו על תוצאות כל הניסויים הפיזיקליים, אך היו חלוקים רק במילים הנכונות לתארם.)

ראלף הריאליסט, שמנוי לפרשנות ריאליסטית (שלא הרבה עולמות), היה אומר שמאז שמדדתי את הקוביט A לאורך הציר $ z $, זה בהחלט במצב טהור $ | \ uparrow \ rangle $ או המצב הטהור $ | \ downarrow \ rangle $ על ידי תנוחת המדידה של מכניקת הקוונטים. אינך יודע איזה מצב טהור, לכן עליך לתאר את המערכת בעזרת מטריצת צפיפות מעורבת מקסימאלית, אך אי הוודאות היא קלאסית גרידא ופשוט משקפת את בורותך הקלאסית לגבי מה שמדדתי. לעומת זאת, קוביט ב 'מסתבך עם קוביט אחר, ולכן הוא נקבע על ידי מטריצת צפיפות מופחתת , ומקור אי הוודאות במצבו הוא ביסודו מכני קוונטי. ראלף היה אומר שקוביט A נמצא לכן במצב טהור לא ידוע בעוד שקובית B נמצאת במצב מעורב. פילוסופים לפיזיקה אומרים שקוביט A הוא "תערובת ראויה" מכיוון שאופיו ההסתברותי נובע מבורות קלאסית, וקוביט B הוא "תערובת לא נכונה" מכיוון שהוא מתואר על ידי מטריצת צפיפות מופחתת ואופיו ההסתברותי נובע מסבך קוונטי. על ידי ציון הבחנה זו הם טוענים במשתמע כי אי הוודאות הקלאסית והקוונטית מובחנות פילוסופית , גם אם לא ניתן להבחין בהן אמפירית, כפי שאתה מציין.

אווה האפיסטמיסטית, שמנויים לפרשנות אפיסטמית, הייתה אומרת שמכיוון שאין חישוב פיזי או מדידה שיכולים להבדיל בין אי וודאות קלאסית וקוונטית, אין שום סיבה לראות אותם מובחנים מבחינה פילוסופית, וכי ההבחנה לכאורה בין ראוי לבלתי תקין תערובות לא ממש קיימות. היא הייתה אומרת ששני הקוביטים "באמת" נמצאים באותו מצב מעורב מקסימלי, ולא רק שהם שווים מבחינתך. השקפה זו מושכת מנקודת מבט פוזיטיביסטית לוגית, אך היא מובילה למסקנה שאולי אינטואיטיבית לכך שטוהר המערכת הפיזית הוא סובייקטיבי ותלוי ב"ידע הרקע "שלך: הייתי מתאר את qubit A כמצוי טהור, היית לתאר את זה כמצב מעורב, ושנינו צדקנו.

מינרווה העולמית הרבה, שמנויים לפרשנות העולמות הרבים, הייתה אומרת כי (בהנחה שהיא כבר לא הצביעה במקביל לציר $ z $ לפני המדידה) הקוביט A נמצא במצב מעורב - אבל שאני גם במצב מעורב כי מדדתי את זה! קוביט A ואני נמצאים ביחד בסופרפוזיציה קוהרנטית לכך שמדדתי "למעלה" או "למטה" (אם כי זה ימהר להתפרק ככל שההסתבכות מתפשטת עוד יותר), ולכן qubit A ואני כל אחד בנפרד במצב מעורב. מינרווה תסכים עם ראלף שיש הבדל מהותי בין אי וודאות קלאסית לקוואנטית, אך היא תסכים עם אווה ששני הקוביטים נמצאים באותו מצב מעורב בדיוק. עם זאת, בניגוד לאווה, המכחישה את קיומה של הבחנה בין תערובות נכונות ובלתי הולמות, מינרווה הייתה אומרת ששני הקוביטים נמצאים בתערובות לא תקינות (זהות).