$$ A (\ lambda + \ epsilon) B (\ lambda + \ epsilon) = (A (\ lambda) + \ epsilon \ dot {A}) (B (\ lambda) + \ epsilon \ dot B) = A (\ lambda) B (\ lambda) + \ epsilon (\ dot AB + A \ dot B) + o (\ epsilon ^ 2) $$

כאן נשקול רק את שאלת המשנה האחרונה שנוספה (v4):

$$ \ frac {d} {d \ lambda} e ^ {\ hat {A}} ~ = ~ \ int_0 ^ 1 \! ds ~ e ^ {(1-s) \ hat {A}} \ frac {d \ hat {A}} {d \ lambda} e ^ { s \ hat {A}}. \ tag {1} $$

הזהות (1) באה בעקבות הגדרת $ t = 1 $ span> בזהות הבאה

$$ e ^ {- t \ hat {A}} \ frac {d} {d \ lambda } e ^ {t \ hat {A}} ~ = ~ \ int_0 ^ t \! ds ~ e ^ {- s \ hat {A}} \ frac {d \ hat {A}} {d \ lambda} e ^ {s \ hat {A}}. \ tag {2} $$

כדי להוכיח משוואה (2), שים לב ראשית ש (2) נכון באופן טריוויאלי עבור $ t = 0 $ . שנית, שים לב כי בידול. $ t $ משני צידי (2) מייצר ביטוי זהה

$$ e ^ { -t \ hat {A}} [\ frac {d} {d \ lambda}, \ hat {A}] e ^ {t \ hat {A}} ~ = ~ e ^ {- t \ hat {A}} \ frac {d \ hat {A}} {d \ lambda} e ^ {t \ hat {A}}, \ tag {3} $$

שבו אנו משתמשים בעובדה ש

$$ \ frac {d} {dt} e ^ {t \ hat {A}} ~ = ~ \ hat {A} e ^ {t \ כובע {A}} ~ = ~ e ^ {t \ hat {A}} \ hat {A}. \ tag {4} $$

אז שני הצדדים של שוויון ( 2) חייב להיות שווה. $ \ Box $

להלן רמזים ל -2: שים לב ש $ e ^ {\ hat {A} (\ lambda)} = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {\ hat {A} (\ lambda) ^ n} {n!} $ וכדי לשמור על הסדר כי $ \ frac {d} {d \ lambda} \ hat {A} (\ lambda) ^ n = \ sum_ {k = 0} ^ {n-1}\ hat {A} (\ lambda) ^ k \ frac {d \ hat {A}} {d \ lambda} \ hat {A} (\ lambda) ^ {nk-1} $.באמצעות עובדות אלה, ופונקציית בטא עובדה $ B (n, k) = \ frac {n! (K + 1)!} {(N + k + 1)!} = \ Int_0 ^ 1 x ^ {n-1} (1-x) ^ k dx $, באמצעות החלפת סכום כלשהי, שינוי אינדקס ושכתוב פקטורי אתה יכול להגיע ל"נוסחה של סנדדון "עבור $ \ frac {d} {d \ lambda} e ^ {\ hat {A}(\ lambda)} $.את כל הפרטים הללו ניתן למצוא ב"שיטות מתמטיות של אופטיקה קוונטית "מאת רבינדר רופשנד פורי, תחילת פרק 2.