למרות שמדובר בנגזרת סטנדרטית, לעתים קרובות אינך רואה אותה בקורסי היכרות עם אלקטרומגנטיות, אולי משום שמהלכים אלה נרתעים מהשימוש הכבד בחשבון וקטורי. הנה הגישה הרגילה. אנו נמצא משוואת גלים מהמשוואות של מקסוול.

התחל עם

$ \ nabla \ times \ vec {E} = - \ frac {\ חלקי \ vec {B}} {\ חלקי t} $.

קח נגזרת חלקית של שני הצדדים ביחס לזמן. לאופרטור התלתל אין חלקי ביחס לזמן, ולכן זה הופך להיות

$ \ nabla \ times \ frac {\ partial \ vec {E}} {\ partial t} = - \ frac {\ partial ^ 2 \ vec {B}} {\ partial t ^ 2} $.

יש עוד אחת מהמשוואות של מקסוול שמספרות לנו על $ \ partial \ vec {E} / \ partial t $.

$ \ nabla \ times \ vec {B} = \ mu_0 \ epsilon_0 \ frac {\ partial \ vec {E}} {\ partial t} $

פתרון זה עבור $ \ partial \ vec {E} / \ partial t $ והתחבר לביטוי הקודם כדי לקבל

$ \ nabla \ times \ frac {(\ nabla \ times \ vec {B})} {\ mu_0 \ epsilon_0} = - \ frac {\ partial ^ 2 \ vec {B}} {\ partial t ^ 2} $

ה תלתל של זהות תלתל מאפשר לנו לכתוב את זה מחדש כ-

$ \ frac {1} {\ mu_0 \ epsilon_0} \ left (\ nabla (\ nabla \ cdot \ vec {B}) - \ nabla ^ 2 \ vec {B} \ right) = - \ frac {\ חלקי ^ 2 \ vec {B}} {\ חלקי t ^ 2} $

אבל ההבדל של השדה המגנטי הוא אפס, אז הרגו את המונח הזה, וסדרו מחדש ל

$ \ frac {-1} {\ mu_0 \ epsilon_0} \ nabla ^ 2 \ vec {B} + \ frac {\ partial ^ 2 \ vec {B}} {\ partial t ^ 2} = 0 $

זו משוואת הגל שאנחנו מחפשים. פיתרון אחד הוא

$ \ vec {B} = B_0 e ^ {i (\ vec {x} \ cdot \ vec {k} - \ omega t)} $.

זה מייצג גל מישורי הנע בכיוון הווקטור $ \ vec {k} $ עם תדר $ \ omega $ ומהירות פאזה $ v = \ omega / | \ vec {k} | $. כדי להיות פיתרון, משוואה זו צריכה להיות

$ \ frac {\ omega ^ 2} {k ^ 2} = \ frac {1} {\ mu_0 \ epsilon_0} $.

לחלופין, הגדרת $ v = 1 / \ sqrt {\ mu_0 \ epsilon_0} $

$ \ frac {\ omega} {k} = v $

זהו נקרא יחס הפיזור. המהירות שעוברים האותות האלקטרומגנטיים ניתנת על ידי מהירות הקבוצה

$ \ frac {d \ omega} {dk} = v $

אז אותות אלקטרומגנטיים בוואקום עוברים במהירות $ c = 1 / \ sqrt {\ mu_0 \ epsilon_0} $.

ערוך b> אתה יכול לבצע את אותם השלבים כדי להפיק את משוואת הגל עבור $ \ vec {E} $, אך יהיה עליך להניח שאתה נמצא במקום פנוי, כלומר $ \ rho = 0 $.

ערוך b> תלתל זהות התלתל היה שגוי, יש שם מספר שלילי

התשובה של מארק נכונה, אך היא ארוכה מדי ומסתירה את קו המחץ. אז תן לי להראות נגזרת קצרה יותר באמצעות מתמטיקה מתקדמת יותר. לא מתקדם מדי, רק פורמליזם של טנסור ב זמן מרחב של מינקובסקי עבור יחסיות מיוחדת ו צורות דיפרנציאליות. תצטרך את כל זה במוקדם או במאוחר, אז זה צריך להיות שימושי ללמוד (לפחות קצת) על זה כבר. תשובה זו תהיה רק ​​כמה שורות אם כבר ידעת את הפורמליזם, אך היא תארך מעט מכיוון שאנסה ללמד אותך גם על הפורמליזם.

אתה בטח יודע ש טרנספורמציות לורנץ מערבבות $ \ mathbf E $ ו- $ \ mathbf B $. אז הם לא ממש עצמאיים ומתברר שהם רק חלק ממדרג 2 אנטי-סימטרי 4-ממדי (זה באמת אומר $ 4 \ פעמים 4 $ מטריצה ​​אנטי-סימטרית) $ \ mathbf F $. עכשיו, צריך להיות ברור לפחות ממדי שלמטריצה ​​כזו יש 6 רכיבים עצמאיים אשר חופפים במדויק עם 3 + 3 דרגות חופש של $ \ mathbf E $ ו- $ \ mathbf B $.

אתה כנראה צריך גם לדעת ששני $ \ mathbf E $ וגם $ \ mathbf B $ יכולים לבוא לידי ביטוי במונחים של פוטנציאלים. בפורמליזם שלנו זה מתורגם ל- $ {\ mathbf F} = {\ rm d} {\ mathbf A} $ כאשר $ {\ rm d} $ הוא הנגזרת החיצונית $ \ mathbf A $ הוא ארבעה פוטנציאלים המשלבים פוטנציאלים סקלריים $ \ phi $ ושלושה וקטורים $ \ mathbf A $ פוטנציאלים שכבר כדאי להכיר ולאהוב. $$ {\ rm d} {\ mathbf F} = 0 $$$$ {\ rm \ delta} {\ mathbf F} = 0 $$ כאשר $ \ delta $ הוא codifferential שהוא כפול ל- $ \ rm d $. המשוואה הראשונה למעשה אומרת לנו שקיים ארבעה פוטנציאלים (כי $ {\ rm d} ^ 2 = 0) $ והשני הוא המשוואה האבולוציונית בפועל שתכיל ארבעה זרמים $ \ mathbf j $ אם לא היינו בכל פעם שיש לנו פתרון למשוואות אלה, הם גם יפתרו $$ \ ריבוע {\ mathbf F} = ({\ rm d \ delta + \ delta d}) {\ mathbf F} = 0 $$ אך $ \ ריבוע $ זה הוא בדיוק מפעילת גלי d'Alembert ולכן אכן $ \ mathbf F $ מתפשט במהירות האור.

הפניה: מאמר בויקיפדיה על פורמליזם משתנה או ארבעה וקטורים

התחל בלקיחת תלתל המשוואה השלישית של מקסוול (לוואקום) והחלפת $ \ vec {B} = \ mu_0 \ vec {H} $ שניתן להשיג,

$$ \ nabla ^ 2. \ vec {E} = \ mu_0 \ epsilon_0 \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial t ^ 2} \ vec {E} $$

באופן דומה, על ידי לקיחת תלתל של המשוואה הרביעית של מקסוול, החלפה

$$ \ nabla \ times \ vec {E} = - \ frac {\ partial} {\ partial t} \ mu_0 \ vec {H} $$

אפשר להשיג

$$ \ nabla ^ 2. \ vec {H} = \ mu_0 \ epsilon_0 \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial t ^ 2} \ vec {H} $$

הפיתרון של שתי המשוואות הוא בצורה

$$ E = E_o e ^ {\ iota (\ omega t + \ beta z)} \ \ \ \; \ \ \ \ H = H_oe ^ {\ iota (\ omega t + \ beta z)} $$

לקיחת נגזרת של זמן כפול מתוצאות אלו

$$ \ frac {\ partial} {\ partial t} = \ iota \ omega \ \ \ \; \ \ \ \ \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial t ^ 2} = - \ omega ^ 2 $$

אם נכניס את התוצאות הללו למשוואות $ \ nabla ^ 2 $ שלנו, נקבל את משוואת הלמהולץ עבור $ \ vec {E} $ ו- $ \ vec {H} $ כ-

$$ (\ nabla ^ 2 + \ omega ^ 2 \ mu_0 \ epsilon_0) \ vec {E} = 0 = (\ nabla ^ 2 + \ omega ^ 2 \ mu_0 \ epsilon_0) \ vec {H} $$

כאן הביטוי $ \ omega ^ 2 \ mu_0 \ epsilon_0 = \ beta ^ 2 $ שהוא מספר הגל. על פתרון ביטוי זה אנו יכולים לקבל את המשוואה הנ"ל.

$$ \ frac {\ omega} {\ beta} = \ frac {1} {\ sqrt {\ mu_0 \ epsilon_0}} $$

כמו כן, $ \ omega = 2 \ pi f $ ו- $ \ beta = 2 \ pi / \ lambda $ שמביא אותנו למשוואה הרצויה,

$$ c = \ frac {1} {\ sqrt {\ mu_o \ epsilon_0}} $$

מאז, $ mu_0 = 4 \ pi \ times10 ^ {- 7} $ H / m ו- $ \ epsilon_0 \ כ 8.85 \ times10 ^ {- 12} $ F / m משוואה זו מניבה $ c = 299 792 458 $ m / s