המתנד ההרמוני חשוב מכיוון שהוא פיתרון משוער כמעט ל כל מערכת עם מינימום אנרגיה פוטנציאלית.

הנימוק מגיע מ הרחבת טיילור. שקול מערכת עם אנרגיה פוטנציאלית הניתנת על ידי $ U (x) $. אתה יכול לשוער $ U $ ב- $ x = x_0 $ לפי $$ U (x) = U (x_0) + (x-x_0) \ שמאל. \ Frac {dU} {dx} \ ימין | _ {x_0} + \ frac {(x-x_0) ^ 2} {2!} \ left. \ frac {d ^ 2U} {dx ^ 2} \ right | _ {x_0} + \ cdots $$ המערכת נוטה להתיישב בתצורה כאשר ל- $ U (x) $ יש מינימום --- אך, בהגדרה, שם נגמר הנגזרת הראשונה $ dU / dx = 0 $. כמו כן קיזוז מתמיד לאנרגיה פוטנציאלית בדרך כלל אינו משפיע על הפיזיקה. זה משאיר אותנו עם $$ U (x) = \ frac {(x-x_0) ^ 2} {2!} \ Left. \ Frac {d ^ 2U} {dx ^ 2} \ right | _ {x_0} + \ מתמטיקה O (x-x_0) ^ 3 \ בערך \ frac12 k (x-x_0) ^ 2 $$ שהוא פוטנציאל המתנד ההרמוני לתנודות קטנות בסביבות $ x_0 $.

כדי להתחיל, שים לב שיש יותר מגלגול אחד של "המתנד ההרמוני" בפיזיקה, לכן לפני שתבדוק את המשמעות שלו, זה כנראה מועיל להבהיר מהו.

מה זה המתנד ההרמוני?

ישנם לפחות שני גלגולים בסיסיים של המתנד ההרמוני בפיזיקה: המתנד ההרמוני הקלאסי וה קוונטי מתנד הרמוני. כל אחד מאלה הוא דבר מתמטי שבאמצעותו ניתן לדגם חלק ממערכות פיזיקליות מסוימות או כל אלה במובן המדויק או המשוער, בהתאם להקשר.

ה גרסה הקלאסית נעטפת במשוואה הדיפרנציאלית הרגילה הבאה (ODE) לפונקציה לא ידועה של $ f $ של משתנה אמיתי: \ begin {align} f ' '= - \ omega ^ 2 f \ end {align} כאשר ראשוניים כאן מסמנים נגזרות, ו- $ \ omega $ הוא מספר ממשי. ה גרסה הקוונטית מוקפת על ידי יחס ההחלפה הבא בין מפעיל $ a $ במרחב הילברט לבין הצמוד שלו $ a ^ \ dolk $: \ begin {align} [a, a ^ \ dolk] = I. \ end {align} אולי לא ברור מאליו שלאלה יש קשר זה לזה בשלב זה, אך הם כן, ובמקום לקלקל את הכיף שלכם, אני מזמין אתכם לבדוק עוד אם אינכם מכירים את הקוונטים מתנד הרמוני. לעיתים קרובות, כאמור בתגובות, $ a $ ו- $ a ^ \ dolk $ נקראים מפעילי סולם מסיבות שאיננו מתייחסים אליהם כאן.

כל גלגול של תנודה הרמונית שאני יכול לחשוב עליהן הפיזיקה מסתכמת בהבנת האופן שבו אחד משני הדברים המתמטיים הללו רלוונטי למערכת פיזיקלית מסוימת, אם במובן המדויק או המשוער.

מדוע המודלים המתמטיים הללו חשובים?

היכן אנו מוצאים את המתנד ההרמוני הקלאסי?

(זו בשום אופן לא רשימה ממצה, והצעות לתוספות יתקבלו בברכה!)

1. מיסה על מעיין חוק הוק (הקלאסי!). במקרה זה, משוואת המתנד ההרמונית הקלאסית מתארת ​​את משוואת התנועה ה מדויקת של המערכת.
2. מצבים קלאסיים רבים (אך לא כולם) בהם חלקיק נע ליד מינימום מקומי של פוטנציאל (כפי ששודד כותב בתשובתו). במקרים אלה, משוואת המתנד ההרמונית הקלאסית מתארת ​​את הדינמיקה המשוערת של המערכת בתנאי שתנועתה אינה חורגת באופן ניכר מהמינימום המקומי של הפוטנציאל.
3. מערכות קלאסיות של מתנדים מצמידים חזק >. במקרה זה, אם הזיווגים הם ליניאריים (כמו כאשר חבורה של מסות מחוברים על ידי מעיינות חוק הוק) ניתן להשתמש בקסם אלגברה לינארי (ערכים עצמיים וקטורים עצמיים) כדי לקבוע מצבים נורמליים של המערכת, שכל אחד מהם פועל כמו קלאסיקה אחת. מתנד הרמוני. לאחר מכן ניתן להשתמש במצבים נורמליים אלה כדי לפתור את הדינמיקה הכללית של המערכת. אם הזיווגים אינם ליניאריים, אז המתנד ההרמוני הופך לקירוב לסטיות קטנות משיווי המשקל.
4. ניתוח פורייה ו- PDE . נזכיר כי סדרת פורייה, המייצגת פונקציות תקופתיות בכל הקו האמיתי, או פונקציות במרווח סופי, וטרנספורמציות פורייה בנויות באמצעות סינוסים וקוסינוסים, והסט $ \ {\ sin, \ cos \} $ מהווה בסיס למרחב הפתרונות של משוואת המתנדים ההרמוניים הקלאסיים. במובן זה, בכל פעם שאתה משתמש בניתוח פורייה לצורך עיבוד אותות או כדי לפתור PDE, אתה פשוט משתמש במתנד ההרמוני הקלאסי על סטרואידים חזקים במיוחד.
5. אלקטרודינמיקה קלאסית . זו למעשה נופלת מתחת לנקודה האחרונה מכיוון שגלים אלקטרומגנטיים מגיעים מפתרון משוואות מקסוול אשר במקרים מסוימים מניבים את משוואת הגל שניתן לפתור באמצעות ניתוח פורייה.

היכן אנו מוצאים את המתנד ההרמוני הקוונטי. ?

1. קח אחת מהמערכות הפיזיקליות לעיל, שקול גרסה מכנית קוונטית של אותה מערכת, והמערכת המתקבלת תתנהל על ידי המתנד ההרמוני הקוונטי. לדוגמא, דמיין מערכת קטנה בה חלקיק נלכד בפוטנציאל ריבועי. אם המערכת קטנה מספיק, אז ישפיעו הקוונטים, ויש צורך במתנד ההרמוני הקוונטי בכדי לתאר במדויק את הדינמיקה שלו.
2. תנודות סריג ופונונים . (דוגמה למה שאני טוען בנקודה 1 כאשר אני מוחל על מערכות גדולות של מתנדים מצמידים.
3. שדות קוונטיים. זה אולי הפריט הבסיסי והחשוב ביותר באחד משני אלה. מתברר שהמודל הפיזיקלי הבסיסי ביותר שיש לנו כיום, דהיינו המודל הסטנדרטי של פיזיקת החלקיקים, מבוסס בסופו של דבר על כימות שדות קלאסיים (כמו שדות אלקטרומגנטיים) והבנתם כי חלקיקים בעצם פשוט יוצאים מהתרגשות של שדות אלה, ואלה עירור מעוצב באופן מתמטי כמערכת אינסופית של מתנדים הרמוניים קוונטיים.

המתנד ההרמוני נפוץ

הוא מופיע בדוגמאות יומיומיות רבות: מטוטלות, קפיצים, אלקטרוניקה (כגון מעגל RLC), גלים עומדים על חוט וכו '. זה טריוויאלי להגדיר הדגמות של תופעות אלה, ואנחנו רואים אותן כל הזמן.

המתנד ההרמוני הוא אינטואיטיבי

אנחנו יכולים לדמיין את הכוחות על מערכות כאלה כמטוטלת או חוט קטוף. זה מקל על הלימוד בכיתה. לעומת זאת, יש הרבה דוגמאות "יומיומיות" ש אינן אינטואיטיביות, כמו אפקט ברנולי הידוע לשמצה הרמת דיסק על ידי פיצוץ אוויר כלפי מטה . פרדוקסים אלה הם חידות נהדרות, אך הם יבלבלו את התלמידים המתחילים ביותר (רוב).

המתנד ההרמוני הוא פשוט מתמטי

המתמטיקה היא חלק מהפיזיקה. בלימוד תנועה הרמונית פשוטה, התלמידים יכולים להשתמש באופן מיידי בנוסחאות המתארות את תנועתו. נוסחאות אלה מובנות: למשל, משוואת התדר מראה את התוצאה האינטואיטיבית שהגברת נוקשות הקפיץ מגדילה את התדירות. ברמה מתקדמת יותר, התלמידים יכולים להפיק את המשוואות מעקרונות ראשונים. היכולת לפתור בעיה אמיתית כל כך בקלות היא הדגמה ברורה כיצד הפיזיקה משתמשת במתמטיקה.

יתרונות הנדסיים מאוד גם כן. מערכות רבות, אפילו מורכבות מאוד, הן לינאריות. מערכות ליניאריות מורכבות משמשות כמתנדים הרמוניים מרובים. לדוגמה, מחרוזת מוצמדת רוטטת באופן טבעי בתדרים שהם מכפלים מהיסוד שלה. ניתן לייצג כל תנועה של המחרוזת כסכום של כל רטט רכיבים, כאשר כל רכיב עצמאי של רכיבים אחרים. ה סופרפוזיציה הזו מאפשרת לנו לדגמן דברים כמו מריטת החוט. לוחות מעגליים, תאי גיטרה, גורדי שחקים, אנטנות רדיו ואפילו מולקולות מורכבים יותר. עם זאת, סופרפוזיציה וכלים אחרים מתורת המערכות הליניאריות עדיין מאפשרים לנו לבצע קיצורי דרך מסיביים על החישוב ולסמוך על התוצאות. שיטות חישוב אלה הופכות גם לכלי לימוד טובים לנושאים באלגברה לינארית ומשוואות דיפרנציאליות.

מכיוון שהמתנד ההרמוני הוא מערכת מוכרת שקשורה כל כך חזק לנושאים בסיסיים במתמטיקה, מדע והנדסה שהיא אחת מהמערכות הנחקרות והמובנות ביותר.

התשובות האחרות כבר מכסות רבים מההיבטים החשובים ביותר. יישום מעניין אחד הוא לגלות כיצד צורת המתנד ההרמוני קשורה להתפלגות גאוסית (נורמלית), אחרת מבנה מתמטי המשמש לעתים קרובות. יכול להיות שהצעתי את זה לרשימה של joshphysics, אך מכיוון שזה צריך כמה פרטים כדי להעריך, החלטתי להפוך את זה לתשובה עצמאית (אבל זה באמת יותר הערה נמשכת).

קח $ N משתנים אקראיים $ עצמאיים $ X_i $, כל אחד מהם משתנה $ \ sigma $, ופשטותם פירושו $ 0 $. כעת הפונקציה האופיינית לחלוקת הסתברות שרירותית $ P_X $ היא $ G_X (k) = \ langle e ^ {ikX} \ rangle = \ int e ^ {ikx} P_X (x) \ mathrm {d} x $. כתיבת האקספוננציאלי בסדרת טיילור (שם ניתק את כל המונחים מעבר לריבוע) $ e ^ {ikx} \ בערך 1 + ixk - \ frac {1} {2} x ^ 2k ^ 2 $, יש לנו $ G_X (k) \ בערך 1 - \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2k ^ 2 $.

כעת הגדר משתנה אקראי חדש $ Z = \ frac {\ sum_ {i = 1} ^ N X_i} {\ sqrt {N}} $, כך $ G_Z (k) = \ שמאל (G_X \ left (\ frac {k} {\ sqrt {N}} \ right) \ right) ^ N \ approx \ left (1 - \ frac {\ sigma ^ 2k ^ 2} {2N} \ right) ^ N $ and כ- $ N \ to \ infty $ (כל תנאי הסדר הגבוה יותר בירידת הסכום) יש לנו בהגדרה, $ G_Z (k) = e ^ {- \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2k ^ 2} $ , שנותן אז את ההתפלגות הגאוסית $$ P_Z (z) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi \ sigma ^ 2}} e ^ {- \ frac {z ^ 2} {2 \ sigma ^ 2} } $$

זו נגזרת פשטנית של משפט הגבול המרכזי, שיש לה חשיבות עצומה בכמה תחומי מדע וכנראה בין התוצאות הבסיסיות ביותר של סטטיסטיקה. שים לב

שים לב שבגזירה כל תנאי הסדר הגבוה יותר נשרו (כ- $ N \ to \ infty $), והיחיד שנותר היה המונח הרביעי, ההרמוני. זה קורה באופן קבוע ביישומים בתחומים שונים, אך עם זאת אני לא יכול באמת לנקוב בסיבה בסיסית מדוע זה אמור להיות כך.

אני חושב שהתשובה של רוב די כוללת ואמיתית. אני רק רוצה להוסיף משהו. אם אתה מרחיב את הפוטנציאל באמצעות סדרת טיילור, הנגזרת השנייה מחפשת וקטור משיק בנקודה $ x_0 $ שהיא נקודת המינימום של העקומה, כך שהיא אפס. אז יש לנו פוטנציאל של הטופס $ \ frac {1} {2} k (x-x_0) ^ 2 $ שהעברנו את המקור של x למיקום של $ x_0 $. אז היינו מקורבים את עקומת הפוטנציאל לפרבולה. זה הופך את המתנד ההרמוני לחשוב לפיזיקה.