טנזור מסדר שני יכול להיות מיוצג על ידי מטריצה, כמו שניתן לייצג טנזור מסדר ראשון על ידי מערך. אבל יש בטנסור יותר מסתם סידור הרכיבים שלו; עלינו לכלול גם כיצד מערך הופך לאחר שינוי בסיס. אז טנסור הוא מערך ממדי n העונה על חוק טרנספורמציה מסוים.

אז כן, ניתן לייצג טנזור מסדר שלישי כמערך תלת מימדי של מספרים - בשילוב עם חוק טרנספורמציה משויך .

מטריצות מוצגות לרוב לראשונה בפני התלמידים כדי לייצג טרנספורמציות ליניאריות שלוקחות וקטורים מ- $ \ mathbb {R} ^ n $ וממפות אותם לווקטורים ב- $ \ mathbb {R} ^ m $. טרנספורמציה ליניארית נתונה עשויה להיות מיוצגת על ידי מטריצות שונות רבות לאין ערוך, תלוי בקטורי הבסיס שנבחרו עבור $ \ mathbb {R} ^ n $ ו- $ \ mathbb {R} ^ m $, וחוק טרנספורמציה מוגדר היטב מאפשר לכתוב מחדש. הפעולה הליניארית עבור כל בחירה של וקטורי בסיס.

טנסורים בדרגה שנייה דומים למדי, אך יש הבדל חשוב אחד שעולה ליישומים שבהם נחשבים מדדי מרחק לא-אוקלידיים (לא שטוחים), כגון תורת היחסות הכללית. טנסורים בדרגה 2 עשויים למפות לא רק $ \ mathbb {R} ^ n $ ל- $ \ mathbb {R} ^ m $, אלא גם למפות בין הרווחים הכפולים של $ \ mathbb {R} ^ n $ או $ \ mathbb {R} ^ מ '$. חוק הטרנספורמציה של טנסורים דומה לזה שנלמד לראשונה עבור אופרטורים לינאריים, אך מאפשר את הגמישות הנוספת המאפשרת לטנסור לעבור בין פעולה על חללים כפולים או לא.

שים לב כי עבור מדדי המרחק האוקלידי, המרחב הכפול והמרחב הווקטורי המקורי זהים, כך שהבחנה זו לא משנה במקרה זה.

יתר על כן, טנזורים בדרגה 2 יכולים להתנהג לא רק כמפות ממרחב וקטורי אחד למשנהו. פעולת "התכווצות" טנסור (הכללה של מוצר הנקודה לווקטורים) מאפשרת לטנזור דרגה 2 לפעול על טנזורי דרגה שנייה אחרים כדי לייצר סקלר. תהליך כיווץ זה ניתן להכללה עבור טנסורים ממדיים גבוהים יותר, ומאפשר התכווצות בין טנסורים בדרגות שונות כדי לייצר מוצרים בדרגות שונות.

כדי להדהיד תשובה נוספת שפורסמה כאן, אכן ניתן לייצג טנסור דרגה 2 בכל עת. על ידי מטריצה, שפירושה פשוט שורות ועמודות של מספרים בעמוד. מה שאני מנסה לעשות הוא להבחין בין מטריצות שכן הן הוצגו לראשונה כמייצגות אופרטורים לינאריים ממרחבים וקטוריים, לבין מטריצות המייצגות את האובייקטים הגמישים מעט יותר שתיארתי

מטריצה ​​היא מקרה מיוחד של טנסור דרגה שנייה עם אינדקס אחד למעלה ואחד מדד למטה. זה לוקח וקטורים לווקטורים, (על ידי כיווץ האינדקס העליון של הווקטור עם האינדקס התחתון של הטנזור), קובטורים לקובקטורים (על ידי כיווץ האינדקס התחתון של הסווטור עם האינדקס העליון של הטנזור), ובכלל, זה יכול לקחת מ 'טנסור עליון / n-תחתון לאחד מ- עליון / n-תחתון על ידי פעולה על אחד המדדים למעלה, ל- m עליון / n תחתון על ידי פעולה על אחד המדדים התחתונים, או על m-1 -גובה / n-1-תחתון על ידי כיווץ עם מדדים עליונים ואחת תחתונים.

אין תועלת לסימון מטריצה ​​אם אתה מכיר טנסורים, זה מקרה מיוחד שבו פעולת מוצר טנסור בתוספת כיווץ אחד מייצר אובייקט מאותו סוג. סימן הטנסור מביא הכללה של חשבון הווקטורים והאלגברה הליניארית בצורה נכונה כדי ליצור את האובייקטים המתמטיים הנכונים.

באופן קפדני, מטריצות ודרג 2 טנסורים אינן ממש אותו דבר, אך קיימת התכתבות הדוקה הפועלת למטרות המעשיות ביותר בהן נתקלים הפיזיקאים.

מטריצה ​​היא מערך דו ממדי של מספרים (או ערכים משדה או טבעת כלשהם). טנסור דו-דרגי הוא מפה לינארית משני חללים וקטוריים, מעל שדה כלשהו כמו המספרים האמיתיים, לשדה זה. אם החללים הווקטוריים הם ממדיים סופיים, תוכלו לבחור בסיס לכל אחד מהם וליצור מטריצה ​​של רכיבים. ההתאמה הזו בין מטריצות למדרגים -2 היא אחת לאחת, כך שתוכלו להתייחס אליהם כאל אותו הדבר, אך באופן קפדני הם שקולים. כאשר אין אפשרות לייצוג משמעותי מבחינת מטריצות עבור המתחים המתאימים גם כאשר השדה הוא המספרים האמיתיים והמטריצות יכולות להיות אינסוף רכיבים. חלק מהדוגמאות הללו רלוונטיות לפיזיקה, למשל כאשר המרחבים הווקטוריים הם פונקציונלים אשר הממד שלהם (במונחים אבודים) אינספור סופית. מסיבה זו מומלץ לזכור את ההבחנה בין מה הם למעשה טנזורים ומטריצות של מערכים, גם אם אתה רק פיזיקאי.

זהו מציצה לחיות מחמד שלי.לאחר שהיה בתחילת דרכי גיאומטר.הרבה מהדיון שקודם לכן נכון.טנזור של דרגות שונות הן טרנספורמציות לינאריות.עם זאת, טנזור הוא משתנה תחת מערכות קואורדינטות שנבחרו.

הדרך הקלה ביותר לחשוב עליו היא וקטור הוא גודל וכיוון ו בלבד יכול לבוא לידי ביטוי כמערך לאחר שנבחרה מערכת קואורדינטות.כמו כן, טנזור דרגה 2 יכול לבוא לידי ביטוי רק כמטריקס כאשר נבחרת מערכת קואורדינטות.

זו הסיבה שהוא משמש בפיזיקה כמו טנזור אנרגיית הלחץ או טנזור מקדם השבירה של גבישים אניסטרופיים.זה סטנדרטי הקואורדינטות הזה שעושה את זה שימושי לתיאור מאפיינים פיזיים.

לאמטריצה יכולה להיות כל מספר דברים, רשימת מספרים, סמלים או שם של סרט.אבל זה אף פעם לא יכול להיות טנזור.מטריצות יכולות לשמש רק כייצוגים מסוימים של טנסורים, אך ככאלה, הם מטשטשים את כל המאפיינים הגיאומטריים של טנסורים שהם פשוט פונקציות רב-קוויות על וקטורים.

$$ \ def \ cR # 1 {\ color {red} {# 1}} \ def \ cG # 1 {\ color {green} {# 1}} $$

הם נראים כל כך דומים, אבל ...

לעיתים קרובות יש בלבול ביחס למדדים כאשר אנו הופכים טנזור דרגה 2, $ T_ {ij} $ . מכיוון שמטריצות יכולות לייצג דרגה 2 של טנסורים, זה מפתה פשוט להתחיל להכפיל. אך סדר האינדקס הוא מכריע.

כעת, הכפלת מטריצה ​​רגילה, $ C = AB $ מסכמת את המדד השני של A ואת המדד הראשון של B: $ C_ {ab} = A_ {a \ cR {c}} B _ {\ cR {c} b} $ , שם $ \ cR {c} $ הוא אינדקס הסיכום ("אינדקס דמה").

אם אנו משתמשים באינדקס השני של B, $ D_ {ab} = A_ {a \ cR {c}} B_ {b \ cR {c}} $ , אז מה שאנחנו מקבלים הוא $ D = AB ^ T $ .

קראנו בספר לימוד ש- "T הופך כמו טנזור תחת סיבוב R" פירוש הדבר $ T_ {ab} \ rightarrow T '_ {ab} = R_ {a \ cR {c}} R_ {b \ cG {d}} T _ {\ cR {c} \ cG {d}} $ . שים לב מכריע כי R אחד פועל על המדד הראשון, והשני R פועל על המדד השני.

לכן זה לא פירושו $ T \ rightarrow T '= RRT $ בסימון מטריצה. לא נכון!

סימון המטריצה ​​הנכון הוא $ T \ rightarrow T '= RTR ^ T $ .

לראות את ההתכתבות עשוי להיות מסובך, ללכת לאיבוד במדדים. השתמש במתווך $ D_ {bc} = R_ {b \ cR {d}} T_ {c \ cR {d}} $ (אנלוגי לעיל זה הוא $ D = RT ^ T $ ) כך $ R_ {a \ cR {c}} R_ {b \ cG {d}} T _ {\ cR {c} \ cG {d}} $ הופך $ R_ {a \ cR {c}} D_ {b \ cR {c}} $ . זה מסתכם גם במדד השני של D כך שהוא שווה ל $ RD ^ ​​T $ . החלף בערך של $ D: RD ^ ​​T = R (RT ^ T) ^ T = R (T ^ T) ^ T (R) ^ T = RTR ^ T. $

1. כל הסקלרים אינם טנזורים, אם כי כל הטנזורים בדרגה 0 הם סקלרים (ראה להלן).
2. כל הווקטורים אינם טנזורים, אם כי כל הטנסורים בדרגה 1 הם וקטורים (ראה להלן).
3. כל המטריצות אינן טנזורים, אם כי כל הטנסורים בדרגה 2 הם מטריצות.

דוגמה ל -3: מטריקס M (m11 = x, m12 = -y, m21 = x ^ 2, m22 = -y ^ 2). מטריצה זו אינה דרגת טנסור 2. בדוק מטריצה M למטריצת סיבוב.