הבעיה עם מכניקת מסלול היא שהיא הופכת במהירות מסובכת וקשה מאוד להבין את זה באופן אינטואיטיבי. עם זאת אני חושב שיש דרך פשוטה למדי להראות כמה מעט השפעה ל- GR על מסלול העברה של כדור הארץ וירח. אבל זה לוקח קצת הכנה, אז נשא אותי בזמן שאני נותן הקדמה קצרה.
אני מקווה שכל מי שקורא אתר זה יידע שאנרגיית פוטנציאל הכבידה ניתנת על ידי חוק ניוטון:
$$ V (r) = - \ frac {GMm} {r} $$
אנרגיית הפוטנציאל הכבידתי נובעת מכוח הכבידה האטרקטיבי, אך עבור אובייקט המקיף קיים גם צנטריפוגלי (פיקטיבי) כוח דוחף אותו החוצה. אם נחשב את האנרגיה הפוטנציאלית הנובעת מכוח הצנטריפוגלי ונוסיף אותה לאנרגיה הפוטנציאלית הכבידתית נקבל אנרגיה פוטנציאלית יעילה:
$$ V_ {eff} (r) = - \ frac {GMm} { r} + \ frac {L ^ 2} {2mr ^ 2} \ tag {1} $$
כאשר $ L $ הוא המומנטום הזוויתי, שהוא קבוע לאובייקט המקיף (כי המומנטום הזוויתי נשמר בשדה מרכזי). אם נחשב $ V_ {eff} $ עבור אובייקט במסלול העברת כדור הארץ-ירח נקבל גרף כזה:
המסלול המעגלי היציב נמצא ב מינימום מהפוטנציאל כלומר בערך 384,400 ק"מ, וזה מרגיע מכיוון שמדובר במרחק כדור הארץ-ירח. עד כאן כל כך טוב.
אך כאשר אנו כוללים את ההשפעות של היחסות הכללית אנו מגלים שהיא משנה את המשוואה לפוטנציאל האפקטיבי. הפרטים ניתנים במאמר בוויקיפדיה על גיאודזיה של שוורצשילד, אך בואו נדלג על הפרטים ונתן את המשוואה ל- $ V_ {eff} $ כולל אפקטים יחסיים:
$$ V_ {eff} (r) = - \ frac {GMm} {r} + \ frac {L ^ 2} {2mr ^ 2} - \ frac {GML ^ 2} {c ^ 2mr ^ 3} \ tag {2} $ $
אז כולל אפקטים רלטיביסטיים פשוט מוסיף מונח שלישי ב- $ r ^ {- 3} $.
כעת אנו מחשבים את מיקום המסלול היציב על ידי מציאת המינימום של $ V_ {eff} $ כלומר אנו מחשבים $ dV / dr $, מכניסים אותו לאפס ונפתור את המשוואה המתקבלת עבור $ r $. עושה זאת למען הפוטנציאל הניוטוני (1) נותן לנו:
$$ r = \ frac {L ^ 2} {GMm ^ 2} \ tag {3} $$
מציאה המינימום של הביטוי הרלטיביסטי (2) קצת יותר מעורב כשאנחנו בסופו של דבר עם ריבוע לפתור, אבל כמה שמתעסקים בסופו של דבר עם:
$$ r = \ frac {L ^ 2} {2GMm ^ 2} \ left (1 + \ sqrt {1 - \ frac {12G ^ 2M ^ 2m ^ 2} {L ^ 2c ^ 2}} \ right) $$
ואנחנו יכולים לקרוב השורש הריבועי באמצעות משפט הבינום כדי לקבל:
$$ \ begin {align} r & \ approx \ frac {L ^ 2} {2GMm ^ 2} \ left (1 + 1 - \ frac { 6G ^ 2M ^ 2m ^ 2} {L ^ 2c ^ 2} \ right) \\ & \ approx \ frac {L ^ 2} {GMm ^ 2} - \ frac {3GM} {c ^ 2} \ tag {4 } \ end {align} $$
והשוואת מרחקים ניוטוניים (3) ויחסית (4) המחושבים שלנו אנו מוצאים את ההבדל ביניהם:
$$ \ Delta r \ בערך \ frac {3GM} {c ^ 2} \ כ -1.3 \ טקסט {ס"מ} $$
אז זה כמה שהבדל כולל היחסות הכללית עושה למסלול ההעברה המחושב של כדור הארץ וירח - כ -1.3 ס"מ!